8. Razones, proporciones, variaciones y porcentajes
Las razones, proporciones y porcentajes son expresiones que
involucran la comparación de dos magnitudes.
Cada una de estas comparaciones tiene diferentes conceptos y
utilidades en la vida cotidiana que nos ayudan a determinar la relación
numérica existente entre los valores y de esta forma resolver problemas en
forma sencilla.
8.1 Razones
Una razón es una comparación entre dos o más
cantidades.
Una razón puede expresarse mediante una fracción.
Puede comparar dos magnitudes heterogéneas (con distintas unidades, km / hr)
Si las cantidades a comparar son: a y b, la
razón entre ellas se escribe como una fracción, un decimal o un porcentaje.
El término a
es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre
el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando
tienen igual valor.
Procedimiento
a)
Se coloca en el lugar del antecedente el valor que nos están preguntando.
b)
Se coloca como consecuente el total del valor de los demás datos.
c)
Se simplifica de ser posible.
Ejemplo
1) En un salón de clases
hay 10 mujeres y 18 hombres.
¿Qué razón existe entre
el número de mujeres y el número de hombres?
a)
Antecedente; se coloca el número de
mujeres: 10
b)
Consecuente; se coloca el número de
los demás datos: 18
10 / 18
c)
Se simplifica 5 /
9
La relación entre el número de mujeres y el número
de hombres es de: 5 / 9 y se lee: 5 es a 9, otra forma de leerlo es: 5 de 9.
2)
¿Qué razón existe entre el número de hombres y
el número de mujeres en el mismo salón?
a)
Antecedente;
número de hombres: 18
b)
Consecuente;
número de los demás: 10
18 / 10
c)
Se
simplifica 9 / 5
La razón de hombres y mujeres en el salón de clases es de: 9 / 5 y se lee: 9 es a 5, o bien, 9 de 5.
3)
En una caja hay 6 pelotas verdes, 8 pelotas
azules y 9 pelotas rojas.
¿Qué razón existe entre las pelotas de cada
color?
-Para las pelotas
verdes
a)
Antecedente;
número de pelotas verdes: 6
b)
Consecuente;
número de los demás: cuento el total de
pelotas que no sean verdes 8+9=17
6 / 17
c)
Estos valores no se pueden simplificar.
-Para las pelotas
azules
a)
Antecedente;
número de pelotas azules: 8
b)
Consecuente;
número de los demás: cuento el total de
pelotas que no sean azules 6+9=15
8 / 15
c)
Estos valores no se pueden simplificar.
-Para las pelotas
rojas
a)
Antecedente;
número de pelotas rojas: 9
b)
Consecuente;
número de los demás: cuento el total de
pelotas que no sean rojas 6+8=14
9 / 14
c)
Estos valores no se pueden simplificar.
Por lo tanto, la
respuesta es: Razón de pelotas verdes es de 6 a 17, la razón de pelotas
azules es de 8 a 15; y la razón de pelotas rojas es de 9 a 14.
Ejercicios
Determina la razón de los siguientes eventos.
a)
El peso de dos niños de 45kg y 55kg.
b)
Días soleados en el mes de junio si llovió 6
días.
c)
Enfermos en un poblado de 12 500 personas si 2
000 presentan síntomas.
d)
Sabor de agua vendida entre limón y naranja si
de la primera se vendieron 16 vasos y de la segunda 38.
e)
Escala de un mapa si un centímetro representa
200 metros.
f)
Rendimiento de litros de gasolina por km
recorrido si gasta 6 litros al recorrer 72 km.
g) Hallar la relación entre
las edades de dos niños de 10 y 14 años.
h) Hallar la razón
geométrica entre 60 y 12.
i) Hallar la razón
geométrica entre 12 y 60.
j)
Cada uno del color de las canicas si hay 12
blancas, 6 negras y 8 moradas.
k)
De cada marca de automóvil en una agencia de
carros si tienen en exhibición 16 carros Ford, 20 Toyota, 13 Nissan, 15
Chevrolet y 4 VW.
Resolución de problemas
Veamos cómo resolver problemas de razones
Ejemplo 1
El
mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5. Hallar el número menor.
7x = (5) (63)
7x = 315
x= 315 / 7
x= 45
Respuesta: El número menor es 45
Ejemplo 2
Las edades de dos personas están en la relación de
5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades
Si las edades son a y b
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene
que dar 84. Esto se expresa así:
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos
cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos
cantidades. Por lo tanto, expresamos los datos como una razón.
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una
constante, que en este caso será " X". Por lo tanto:
Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:
Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar
para obtener los valores de a y b
Respuesta: Por lo tanto, podemos
decir que las edades son 30 y 54.
Ejemplo 3
El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la
razón entre las medidas de sus lados es 5 : 3. ¿Cuánto miden sus lados?
Siguiendo el procedimiento del problema anterior
planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un
rectángulo es igual a la suma de todos sus lados.
Si expresamos las variables dadas en el problema:
Ahora reemplazamos y resolvemos:
Con este resultado reemplazamos
Respuesta: Por
lo tanto, el largo mide 40 cm y el ancho 24 cm.
Ejercicios
Encuentra el valor que se te pide usando razones para
resolver los siguientes ejercicios.
a)
Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas
y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos automóviles hay?
b)
Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman
10 ¿Cuáles son los números?
c)
Martín tiene cinco fichas rojas por cada dos
azules. Si tiene 21 fichas en total, entre rojas y azules, ¿Cuántas fichas
tiene de cada color?
d)
A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si
por cada 8 niñas hay 7 niños, ¿cuántos niños y niñas conforman el taller?
e) Dos números son entre
sí como 3 es 19. Sí el menor es 12, ¿Cuál es el mayor?
f)
El mayor de dos números es 72 y su razón es 8 a 3.
Halla el número menor.
g)
La distancia entre dos puntos en un mapa de
escala 1:20 000 es de 6.7 cm. ¿Cuál es la distancia real?
h)
Si la
altura de Ana es ¾ la altura de Miguel y Miguel mide 1.85m. ¿Cuánto mide Ana?
