Notación científica:
La notación científica (o notación índice estándar) es una
manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez.
Para evitar posibles equivocaciones al operar con números
muy grandes o números muy pequeños se emplea la notación científica. Esta
notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy
pequeños utilizando potencias de 10, con los que es más difícil equivocarse.
Sabes que 1 000
es 10 X 10 X 10 o sea 103
y que 100 000 es
10 X 10 X 10 X 10 X 10 o 105
Entonces podemos escribir la tabla:
1 000 000 10 X 10
X 10 X 10 X 10 X 10 106
100 000 10
X 10 X 10 X 10 X 10 105
10 000 10 X 10 X 10 X 10 104
1 000 10 X 10 X 10 103
100 10 X 10 102
10 10 101
1 1 100
0.1 1/10 10-1
0.01 1/(10 x 10) 10-2
Nota: el exponente del 10 coincide con la cantidad de ceros
que tiene el número. Si además el número es menor que 1, el exponente es
negativo.
Al escribir un número en notación científica, usaremos una
potencia de diez que multiplica a un número siempre entre 1 y 10. Es decir, el
número sólo podrá tener una cifra delante del punto decimal.
3.89x106
Un número escrito en notación científica: es mayor que uno y
menor que diez y está multiplicado por una potencia de diez.
Procedimiento para escribir un número en notación
científica
Por ejemplo, para escribir 7 654
(que tiene cuatro cifras)
1.- Contamos cuantas cifras hay después del primer número.
En este caso hay 3 cifras 7 654 por lo tanto el exponente del 10 será 3
2.- Colocamos
el primer número (en este caso el 7) seguido del punto decimal y las demás
cifras multiplicando por 10 con el exponente 3
7.654 X 103
De esta forma 7 654 es igual a 7.654 X 103
Si los números son menores de uno, es decir, con cero
delante del punto decimal y ceros detrás de él; el procedimiento es así.
Supongamos el número veintiséis millonésimas: 0.000 026
1.- Contamos el total de ceros que tiene el número,
incluyendo el cero delante del punto decimal.
Tiene 5 ceros, así que la
potencia del 10 tendrá como exponente el mismo número de ceros, pero con signo
negativo (-5).
10-5
2.- Como
delante del punto debe haber una cifra distinta de cero, colocamos el punto decimal
detrás del 2 y resulta:
0.000026 = 2.6x10-5
Se coloca el punto decimal detrás del primer número distinto
de cero y multiplicamos por 10 con el exponente negativo igual a la cantidad de
ceros.
Errores comunes
38.9x106
0.389x106
3.89
Ninguno de los números anteriores está expresado en notación
científica. En el primero, el número que multiplica tiene dos cifras delante del
punto decimal, y sólo puede tener una cifra. En el segundo, delante del punto
decimal hay un cero, y debe tener una cifra distinta de cero. El último, para
terminar, carece de la potencia de diez, así que tampoco está en notación
científica.
Ejercicios: Convierte en notación científica
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8 000
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0.06
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7 000 000
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0.0007
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19 000 000
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0.000092
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2 658 000
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0.00000431
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5 740 000 000
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0.000000905
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24 680 000
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0.0000010
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3 106
|
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0.00762
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40 671 000
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2.01
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Desplazamiento del punto decimal.
Como hemos dicho, los números en notación científica sólo
tienen una cifra, que tiene que ser distinta de cero, delante del punto
decimal. Tras éste pueden tener cualquier número de cifras, pero delante sólo
una.
1.7x107 3.21x10-5
6.002x100
son números en notación científica. hay una cifra delante
del punto y una potencia de diez.
23.5x106 256x109
0.002x10-4
No son números en notación científica, ya que delante del
punto decimal hay varias cifras o un cero.
Aunque no son números escritos en notación científica, sí
podemos expresarlos en notación científica desplazando el punto decimal
convenientemente y cambiando el exponente.
Relacionando
Si multiplico por diez un número decimal, el punto se
desplaza un lugar hacia la derecha. Si por cien, dos lugares, etc.
25.115 x 10 =
251.15
25.115 x 100 =
2511.5
25.115 x 10000 =
251150
Si por el contrario dividimos entre 10, el punto se
desplazará un lugar hacia la izquierda, si entre 100, dos lugares, etc.
25.115 / 10 =
2.5115
25.115 / 100 =
0.25115
25.115 / 10000 =
0.00251150
En un número en notación científica no es necesario
multiplicar o dividir por diez para desplazar el punto, ya que esa
multiplicación se puede obtener a partir del exponente del diez. Si recordamos
que, por ejemplo, 105 es 10 x 104; y que 105
es 106 /10 vemos que mover el punto hacia la derecha es disminuir el
exponente del 10 y desplazarla hacia la izquierda es aumentar el exponente.
Entonces
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8.75 X 105
|
|
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8.75 X 10 X 104
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8.75 / 10 X 106
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87.5 X 104
|
0.875 X 106
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Ejercicios: Desplaza el punto decimal para convertir en
notación científica
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26 X 107
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0.25 X 108
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43.2 X 108
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0.862 X 105
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70.6 X 105
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0.701 X 10-4
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951.0 X 101
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0.005 X 106
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762.4 X 106
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0.000674 X 10-2
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|
Operaciones con números en notación científica
Sumas y restas
Como todos los números, los que están escritos en notación
científica pueden ser operados. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir
números en notación científica. Empezaremos por estudiar la suma y la resta.
Para poder sumar o restar dos números en notación científica
ambos deben tener el mismo exponente en el 10. Por eso 3.5 X 108 y 4.1
X 108 pueden sumarse, ya que tienen el mismo exponente:
3.5 X 108
+ 4.1 X 108
La potencia de 10 es la misma en ambos números, así que es
un factor común y, como tal, ponerlo fuera de un paréntesis:
(3.5 + 4.1) X 108
Y ahora podemos realizar la suma normalmente: 7.6 X 108
Por lo tanto, la suma queda 3.5 X 108 + 4.1 X 108
= 7.6 X 108
Al sumar 8.3 X 106 y 5.9 X 106 tenemos
como resultado 14.2 X 106, este número no está bien escrito en
notación científica por lo que hay que desplazar el punto decimal y modificar
el exponente.
8.3 X 106 + 5.9 X 106 = 14.2 X 106
= 1.42 X 107
El proceso se hace automáticamente, una vez que se comprueba
que los números que se suman tienen el mismo exponente:
6.5 X 10-3 + 3.1 X 10-3 = 9.6 X 10-3
4.35 X 10-9 + 2.8 X 10-9 = 7.15 X 10-9
1.9 X 104 + 9.9 X 104 = 11.8 X 104
= 1.18 X 105
Si los números que queremos sumar no tienen el mismo
exponente, antes de poder realizar la adición tenemos que hacer que ambos
tengan el mismo exponente. Así, si queremos realizar la suma de 2.1 X 104
y 5.7 X 105, como no tienen el mismo exponente, tendremos que mover
el punto del que tenga el exponente menor, con lo que aumentará su exponente:
2.1 X 104
+ 5.7 X 105
2.1 X 104
= 0.21 X 105
Como ahora los números tienen igual exponente, podemos
sumarlos:
0.21 X 105 + 5.7 X 105 = 5.91 X 105
Ejemplo con exponentes negativos
1.6 X 10-4
+ 2.3 X 10-5
Al no tener exponentes iguales, debemos mover la coma del
exponente menor. Al tratarse de números negativos, el menor es -5, no -4.
Movemos, entonces, la coma en el segundo número:
2.8 X 10-5
= 0.23 X 10-4
Ahora, como los exponentes son iguales, podemos realizar la
suma:
1.6 X 10-4 + 0.23x10-4 = 1.83 X 10-4
La sustracción de números en notación científica se realiza
de la misma forma que la adición.
Si los números que se restan tienen el mismo exponente,
podemos restarlos directamente.
Si, por el contrario, los exponentes son distintos, en
primer lugar, desplazaremos el punto de aquel cuyo exponente sea más pequeño y,
una vez igualados los exponentes, realizaremos la resta.
|
6.4 X 105
|
+
|
7.8 X 103
|
=
|
|
|
2.9 X 10-3
|
+
|
4.2 X 10-5
|
=
|
|
|
8.43 X 10-6
|
+
|
6.1 X 10-4
|
=
|
|
|
7.365 X 108
|
-
|
2.7 X 106
|
=
|
|
|
4.501 X 109
|
-
|
8.2 X 107
|
=
|
|
|
6.407 X 10-2
|
-
|
7.1 X 10-3
|
=
|
|
Multiplicación y
división
En la multiplicación y la división los exponentes pueden ser
distintos y, además, el resultado tendrá un exponente afectado por la
operación.
Si deseamos multiplicar dos números en notación científica,
por ejemplo, 1.5 X 107 y 4.2 X 104, podemos, en primer
lugar, reagrupar los factores:
(1.5 X 107)
(4.2 X 104)
(1.5) (4.2) x (107)
(104)
Multiplicando los números (1.5 x 4.2 = 6.3) y recordando
ahora que para multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes (7 +
4 = 11), el resultado será:
6.3 X 1011
Es decir, para multiplicar números en notación científica,
se multiplica la parte real y se suman los exponentes.
(1.6 X 105) (2.3 X 10-2) = 3.68 X 103
(2.5 X 10-7) (6 X 105) = 1.5 X 10-1
(6.25 X 10-3) (8.4 X 103) = 5.25 X 101
Para dividir números en notación científica, se dividen los
números reales y se restan los exponentes.
Ejercicios
6 X 107 / 4 X 105 =
4.9 X 10-3 / 1.4 X 10-6 =
8.1 X 10-7 / 2.4 X 105 =
6 X 103 / 8 X 10-3 =
5.5 X 10-2 / 3.2 X 105 =
EJERCICIOS
1.
Escribe en notación científica los números:
a.
53000
b.
45000000
c.
81300000000
d.
0.000086
e.
0.00000003
f.
0.00000000551
2.
Dados los números A = 7.15X106; B =
1.92X106 y C = 5.9X106 realiza las operaciones:
a.
A + B
b.
A + C
c.
B + C
d.
C – B
e.
C – A
f.
A – B
3.
Dados los números A = 7.15X10-6; B =
1.92X10-5 y C = 5.9X10-5 realiza las operaciones:
a.
A + B
b.
A + C
c.
B + C
d.
C – B
e.
C - A
f.
A - B
4.
Dados los números A = 7.15X10-6; B =
1.92X106 y C = 5.9X107 realiza las operaciones:
a.
A x B
b.
A / C
c.
B / C
d.
C x B
e.
C x A
f.
A / B
5.
En los primeros 15 días del mes:
a.
¿Cuántas horas hay?
b.
¿Cuántos minutos?
c.
¿Cuántos segundos?
Escribe los resultados en notación científica
6.
Escribe en notación científica los números:
a.
69 1230000
b.
4560000000
c.
7890000000000
d.
0.000987
e.
0.0000000654
f.
0.0000000000321
7.
Dados los números A = 1.23X104; B =
4.56X104 y C = 7.89X104 realiza las operaciones:
a.
A + B
b.
A + C
c.
B + C
d.
C – B
e.
C – A
f.
A – B
8.
Dados los números A = 1.23X10-4; B =
4.56X10-5 y C = 7.89X10-4 realiza las operaciones:
a.
A + B
b.
A + C
c.
B + C
d.
C – B
e.
C – A
f.
A – B
9.
Dados los números A = 1.23X10-4; B =
4.56X105 y C = 7.89X104 realiza las operaciones:
a.
A x B
b.
A / C
c.
B / C
d.
C x B
e.
C x A
f.
A / B
|
Nombre
|
Símbolo
|
Factor
|
Valor
|
|
Yptta
|
Y
|
1024
|
1 000 000 000 000 000 000 000 000
|
|
Zetta
|
Z
|
1021
|
1 000 000 000 000 000 000 000
|
|
Exa
|
E
|
1018
|
1 000 000 000 000 000 000
|
|
Peta
|
P
|
1015
|
1 000 000 000 000 000
|
|
Tera
|
T
|
1012
|
1 000 000 000 000
|
|
Giga
|
G
|
109
|
1 000 000 000
|
|
mega
|
M
|
106
|
1 000 000
|
|
Kilo
|
k
|
103
|
1 000
|
|
Hecto
|
h
|
102
|
100
|
|
Deca
|
da
|
101
|
10
|
|
Unidad
|
u
|
100
|
1
|
|
Deci
|
d
|
10-1
|
0.1
|
|
Centi
|
c
|
10-2
|
0.01
|
|
Mili
|
m
|
10-3
|
0.001
|
|
Micro
|
µ
|
10-6
|
0.000 001
|
|
Nano
|
n
|
10-9
|
0.000 000 001
|
|
Pico
|
p
|
10-12
|
0.000 000 000 001
|
|
Femto
|
f
|
10-15
|
0.000 000 000 000 001
|
|
Atto
|
a
|
10-18
|
0.000 000 000 000 000 001
|
|
Zepto
|
z
|
10-21
|
0.000 000 000 000 000 000 001
|
|
Yocto
|
y
|
10-24
|
0.000 000 000 000 000 000 000
001
|
Ejemplos de usos de los prefijos en la vida cotidiana
6 000 metros = 6X103 metros = 6 kilómetros
8 000 000 000 bytes = 8 X109 bytes = 8 Gigabytes
400 litros = 4X102 litros = 4 hectolitros
5 497 gramos = 5.497X103 gramos = 5.497
kilogramos
0.07 metros = 7X10-2 metros = 7 centímetros
0.0025 gramos = 2.5X10-3 gramos = 2.5 miligramos
Milisegundo
Micro-bio
Nano-tecnología
Deca-tlón
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