Porcentaje

8.4 Porcentajes

Es uno de los conceptos matemáticos que más se utilizan en la vida cotidiana en descuentos o incrementos de precios, sueldos, rebajas, impuestos, etc.

El símbolo para representar porcentajes es “%”; y como el propio nombre lo dice un porcentaje es una razón cuyo denominador es cien, esto es, que está dividido por cien partes iguales.

a% =	a
	100

Por ejemplo, cuando tenemos el 30% debemos recordar que está dividido en 100 partes iguales por lo que tendremos el valor de:

30% =	30	=0.30
	100

Esta cifra de 0.30 es el número que debemos multiplicar para obtener la cantidad que representa el 30% del valor inicial.

Ejemplo 1 (Descuento)

Un vestido de $850 pesos está rebajado un 30%. ¿Cuál es su nuevo precio?

Antes de empezar a hay que analizar cuál es la cantidad que representa el 100%, el 30% y el 70%

El 100% es el valor inicial del vestido sin descuento que es $850 pesos

El 30% es el ahorro; es el dinero que me voy a ahorrar

El 70% es la cantidad que en realidad voy a pagar por el vestido ya con el descuento.

a)    Para saber cuánto dinero voy a ahorrar es necesario dividir 30 entre 100, lo que da 0.30

Entonces se multiplica este valor por el precio inicial para obtener la cantidad de dinero que voy a ahorrar.

($850)(0.30)=$255.  Entonces el ahorro es $255 pesos.

b)    Para saber el nuevo precio divido 70 entre 100, para obtener 0.70; que multiplicaremos por el valor inicial de $850 pesos para obtener el precio ya con descuento. 

($850)(0.70)=$595. Entonces el nuevo valor del vestido es $595 pesos.

Ejemplo 2 (Incremento)

Me aumentaron mi sueldo en un 12%, y antes del aumento ganaba $2,500 pesos semanales, ¿Cuánto gano ahora?

a)    Para saber cuánto es el aumento multiplico el sueldo anterior por el porciento del aumento

($2,500)(0.12)= $300

b)    Para saber el nuevo sueldo multiplico el sueldo anterior por el porciento del aumento (12%) más el porciento del sueldo anterior (100%) lo que da el 112%.

Porciento del sueldo anterior + porciento del aumento = porciento del nuevo sueldo

100% + 12% = 112% =	112	=1.12
	100

($2,500)(1.12)= $2,800. El nuevo sueldo es $2,800

Que es igual a sumar el sueldo anterior (2,500) más el aumento del sueldo ($300)

$2,500 + $300 = $2,800

Ejercicios

1.    Juan gana $13,250 pesos mensuales y le suben el 2%. ¿Cuál será su nuevo sueldo? 

2.    El precio de venta al público de un artículo se obtiene sumando el IVA (16%) a su precio base. Si un artículo tiene un precio base de $ 650 pesos, ¿cuál será su precio de venta al público? 

3.    Unas zapatillas tienen un precio antes de impuestos de $423 pesos. ¿Cuál será su precio, IVA incluido?

4.    He pagado $2,320 pesos por un traje. ¿Cuánto es del IVA? 

5.    Enrique gana $25,000 pesos mensuales brutos (es decir, sin descontar los impuestos), y paga un 16% de IVA. ¿Cuáles son sus ingresos netos? (Después de pagar impuestos) 

6.    Si unos pantalones están rebajados el 30% y me han costado $560 pesos, ¿cuál era su precio antes de las rebajas?

7.    Ricardo ha empezado a trabajar en su nueva empresa y su sueldo inicial es de $1,500 pesos semanales. Le han prometido que si cumple con los objetivos previstos, durante los siguientes 5 meses el aumento de sueldo será del 4% mensual. ¿Cuánto ganaría Ricardo semanalmente después de los 5 meses si cumple los objetivos? 

8.    ¿Qué es mayor, el 37% de $85 o el 85% de $37? 

9.    A un empleado le han subido el 2% durante dos años consecutivos. Al cabo de los dos años gana: 

a) El 4% más que al principio.

b) Más del 4% más que al principio.

c) Menos del 4% más que al principio.

d) Más o menos del 4%, dependiendo del sueldo inicial.

10. En una tienda departamental hay un artículo con un descuento compuesto del 30% más el 20%. El descuento es:

a.    El 50% del precio inicial

b.    Más del 50% del precio inicial

c.    Menos del 50% del precio inicial

d.    Depende del precio inicial

11. Juan no recuerda cuánto ganó el año 2014, pero sí sabe que del 2014 al 2015 le subieron el sueldo un 3% y del 2015 al 2016 un 2%. Si en el año 2016 ganó $13,450 pesos mensuales, ¿sabrías decirle cuánto ganaba el año 2014?

12. En las elecciones pasadas el partido “A” recibió 4,323,890 del total de 11,523,876 votos, en tanto que en las recientes elecciones recibió 4,387,905 votos del total de 11,600,399. ¿Cuál es el porcentaje de votos recibidos en cada elección? ¿Aumento o disminuyo el número de votantes a favor del partido “A”?

Variaciones

8.3 Variaciones

Cuando dos variables son interdependientes, los cambios en el valor de una tendrán un efecto predecible en la otra.

Las variaciones son el crecimiento o decrecimiento de una variable “a” con respecto a otra “b”, por una razón o constante “k”.

a = k * b

Existen dos tipos de variaciones: directas e inversas

a)    Variación directa:    Cuando una variable aumenta la otra aumenta

Cuando una variable disminuye la otra disminuye

b)    Variación inversa:   Cuando una variable aumenta la otra disminuye

Cuando una variable disminuye la otra aumenta

 

8.3.1 Variación directa

Variación directa:     Cuando una variable aumenta la otra aumenta

Cuando una variable disminuye la otra disminuye

Ejemplo

a)    Para recorrer 50km un coche necesita 3 litros de gasolina ¿Cuánto necesitará para recorrer 90km?

Ya que necesita recorrer una distancia más larga, entonces necesita más gasolina. Esto es una variación directa, la variable independiente aumenta entonces la variable dependiente también aumenta.

Esto se resuelve mediante una regla de 3, multiplicando las variables en forma cruzada y dividiendo entre el valor restante.

50km	=	2lts
90km		x

(50km) (x)=(90km) (2lts)

x	=	(90km) (2lts)	=	3.6lts
		50km

b)    Si 3 entradas de cine cuestan $87 pesos, ¿cuánto costarán 5 entradas iguales?

3 entradas	=	$87
5 entradas		x

(3 entradas) (x)=(5entradas) ($87)

x	=	(5 entradas) ($87)	=	$145
		3 entradas

Ejercicios

a)    Es necesario 310gr de harina para preparar 2 mini pasteles. ¿Cuánta harina ocupare para preparar 13 mini pasteles? 

b)    Dos kilos y medio de manzanas tienen un precio oferta de 37 pesos. ¿Cuántos kilos compraré con 444 pesos?

c)    Dos kilos y medio de manzanas tienen un precio oferta de 37 pesos. ¿Cuánto pagaré por 45 kilos de manzana? 

d)    Si el litro de gasolina cuesta 14.5 pesos ¿cuántos litros podré comprar con 100 pesos? ¿y con 150 pesos? 

e)     Una mezcla de concreto se realiza con 3 tantos de cemento por 5 tantos de arena. ¿Cuánto cemento ocupare si tengo 18 tantos de arena? 

f)     Un paquete oferta de tres helados cuesta $42 pesos, ¿Cuántos helados podré comprar con $350 pesos? 

g)    La elaboración de un pantalón requiere de 2.5m de tela. Deseo saber cuánta tela debo comprar para hacer 11 pantalones. 

h)    El metro cuadrado de baldosas cuestas $88 pesos. ¿Cuánto voy a gastar si quiero colocar baldosas en el piso de la cocina que tiene la siguiente figura? 

 

8.3.2 Variación inversa

Variación inversa:    Cuando una variable aumenta la otra disminuye

Cuando una variable disminuye la otra aumenta

 

Los problemas de variaciones que implican relaciones de velocidades o relaciones de trabajo pueden confundir fácilmente porque su solución se realiza mediante el intercambio de posición de las variables. Debido a esto se conocen como variaciones inversas porque se invierte la posición en la proporción.

Ejemplo:

En una casa se utilizaron 4 pintores para pintar una habitación y se tardaron 3 horas. ¿Cuánto se tardarían 2 pintores en pintar la misma habitación?

Cuando analizamos el problema, llegamos a la conclusión que se trata de una relación inversa en vez de directa, ya que mientras más pintores tenemos, menos tiempo les tomará el trabajo.

Así, la solución correcta requiere que utilicemos una proporción inversa, invirtiendo una de las relaciones como sigue:

4 pintores	=	2 pintores		2 pintores	=	4 pintores
3 horas		x		3 horas		x

Y entonces se resuelve en forma normal por regla de 3.

(2 pintores) (x)=(3 horas) (4 pintores)

x	=	(3 horas) (4 pintores)	=	6 horas
		2 pintores

Reafirmando que ésta es una variación inversa, ya que, a más pintores, menos tiempo, y a menos pintores, más tiempo.

Ejercicios

a)    En mi carro hago un recorrido en 3 horas si voy a 90 km/hr. ¿Cuánto tiempo haré el mismo recorrido si disminuyo la velocidad a 60km/hr?

b)    ¿Qué tiempo haré si en vez de disminuir la velocidad aumento a 135km/hr?

c)    Si realizo un recorrido en forma habitual en dos horas y media cuando voy a 90km/hr. ¿a qué velocidad tendré que ir si quiero llegar en una hora y media? 

d)    Nueve albañiles terminan un trabajo en 5 horas. ¿En qué tiempo terminarán 3 albañiles si trabajan a la misma velocidad?

e)    Si 4 contadores realizan una auditoria en 15 horas. ¿Cuántos contadores tendré que contratar para que terminen el trabajo en 6 horas?

f)     Los tres cocineros de un restaurante no se dan abasto para surtir un pedido urgente que quieren que se entregue en dos horas y media si normalmente tardan diez horas. ¿Cuántos cocineros extras tendrán que contratar para entregar el pedido a tiempo?